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Hallo:) Wenn ich prüfen möchte, ob zwei Vektoren kollinear zueinander sind und ich bei meinen zwei rs ( die ich ja am Ende rausbekomme, wenn ich bspw. die drei Gleichungen löse) eine 4 rausbekomme, aber die letzte Gleichung mir eine 5=5 hergibt, bezeichne ich sie dann noch als kollinear? Also ich weiß, dass wenn bei der dritten Gleichung 0=0 oder 4=4 stehen würde sie trotzdem kollinear wären, weil es sich um wahre Aussagen handelt. Wie ist es denn bei 5=5? Sind sie dann noch kollinear, obwohl die beiden rs eine 4 waren? :) gefragt 22. 05. 2021 um 21:13 1 Antwort Viel verständlicher (wobei es re, der deutsche Plural von r auch nicht gebracht hätte, r reicht;-)) ABER wie schaffst du es auf z. Kollinear vektoren überprüfen. B. 5=5 zu kommen, du setzt doch den einen Vektor gleich r mal den anderen, hast also immer rechts ein r (bei 0=0 r könnte man auf 0=0 kommen, )? oder verwendest du einen anderen Ansatz? Diese Antwort melden Link geantwortet 23. 2021 um 00:11 selbstständig, Punkte: 11. 38K
Eine Geradengleichung in Parameterform ist gegeben durch: $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec u$. Dabei ist $\vec a$ der Stützvektor, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden, $r\in\mathbb{R}$ ein Parameter und $\vec u$ der Richtungsvektor der Geraden. Wenn du untersuchen sollst, ob zwei Geraden parallel zueinander sind, schaust du dir die Richtungsvektoren an. Diese müssen kollinear sein. Lineare Unabhängigkeit oder Abhängigkeit im $\mathbb{R}^3$ Ein Vektor im $\mathbb{R}^3$ hat die folgende Form: v_y\\ v_z Schauen wir uns auch hier ein Beispiel an. Überprüfen, ob Vektoren kollinear sind, wie geht das? (Computer, Schule, Mathe). Gegeben seien die Vektoren: -1 \\ 2 2\\ Wir prüfen die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit dieser drei Vektoren. \end{pmatrix}+\gamma\cdot \begin{pmatrix} 0 \\0 Du erhältst das folgende Gleichungssystem: $\alpha+\beta+2\gamma=0$, $-\alpha+\beta=0$ sowie $2\beta+2\gamma=0$. Die letzten beiden Gleichungen können umgeformt werden zu $\alpha=\beta$ sowie $\gamma=-\beta$. Setzt du dies in die obere Gleichung ein, erhältst du $\beta+\beta-2\beta=0$, also $0=0$.
Beispiel 2 ⇒gleichzeitig erfüllbar Die beiden Vektoren sind kollinear (linear abhängig)! Beachte ♦Drei linear abhängige Vektoren können untereinander parallel sein (paarweise linear abhängig) (mit 2 oder 3 Vektoren). Oder sie liegen wegen des geschlossenen Vektordreiecks in einer gemeinsamen Ebene: Komplanarität. Komplanarität eines Vektor. ♦Genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind, lässt sich einer von ihnen (mit Koeffizienten ≠ 0) durch eine Linearkombination der restlichen Vektoren ausdrücken.
Dieser Online-Rechner kann bestimmen, ob Punkte für irgendwelche Punkte und Dimensionen (2D, 3D etc. ) kollinear sind. Man muss nur die Koordinaten von Punkten eingeben, getrennt durch Leerzeichen und eine Linie pro Punkt. Das untenstehende Beispiel überprüft die Kollinearität von drei Punkten in einem 2D Raum, mit den Koordinaten (1, 2), (2, 4) und (3, 6). Die Formeln kann man unter dem Rechner finden. Kollinearität von Punkten, deren Koordinaten gegeben sind Wie man herausfindet, ob Punkte kollinear sind In der Koordinaten-Geometrie, in n-dimensionalen Raum, ist ein Satz von 3 oder mehr verschiedenen Punkte kollinear, wenn die Matrix der Koordinaten derer Vektoren vom Rang 1 oder niedriger ist. Wenn zum Beispiel die Matrix für die drei gegebenen Punkte X = (x1, x2,..., xn), Y = (y1, y2,..., yn), und Z = (z1, z2,..., zn) von Rang 1 oder niedriger ist, dann sind die Punkte kollinear.. Kollinearität eines Vektors ⇒ in diesem Lernvideo!. 1 Da es auf dieser Seite bereits den Matrix Rang Rechner gibt, wird dieser Rechner verwendet, um den Rang der Matrix für die eingegebenen Koordinaten zu bestimme – und falls dies gleich 1 ist, sind die Punkte kollinear.
Das bedeutet, dass $\beta$ frei gewählt werden kann, zum Beispiel $\beta=1$. Damit folgt $\alpha=1$ und $\gamma=-1$. Es gibt also eine Lösung der obigen Gleichung, bei welcher nicht alle Koeffizienten $0$ sind. Damit sind die drei Vektoren linear abhängig. Du kannst nachprüfen, dass $\vec u+\vec v=\vec w$ gilt. Basisvektoren im $\mathbb{R}^3$ Auch in dem Vektorraum $\mathbb{R}^3$ gilt, dass die maximale Anzahl an linearen unabhängigen Vektoren gerade $3$, die Dimension des Vektorraumes, ist. Die kanonische Basis des Vektorraums $\mathbb{R}^3$ ist auch hier gegeben durch die Einheitsvektoren. $\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix};~\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\0 0\\1 \end{pmatrix}\right\}$ Der Zusammenhang zwischen der Determinante und der linearen Unabhängigkeit Wenn du $n$ Vektoren nebeneinander schreibst, erhältst du eine Matrix. Du kannst nun die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüfen, indem du die Determinante dieser Matrix berechnest. Ist diese ungleich $0$, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Somit sind diese drei Vektoren linear abhängig. Wenn drei Vektoren linear abhängig sind, dann werden sie als komplanar bezeichnet. Übrigens: Der Nullvektor lässt sich als Linearkombination von beliebigen Vektoren darstellen. Damit ist eine Menge von Vektoren, von denen einer der Nullvektor ist, immer linear abhängig. Basisvektoren im $\mathbb{R}^2$ In dem Vektorraum $\mathbb{R}^2$ sind immer mehr als zwei Vektoren linear abhängig. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist also zwei. Dies ist die Dimension des Vektorraumes. Jeweils zwei linear unabhängige Vektoren werden als Basisvektoren bezeichnet. Eine besondere Basis ist die sogenannte kanonische Basis $\{\vec{e_1};~\vec{e_2}\}$, welche aus den Einheitsvektoren $\vec e_1=\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$$~$sowie$~$$\vec e_2=\begin{pmatrix} besteht. Jeder Vektor eines Vektorraumes lässt sich als Linearkombination von Basisvektoren dieses Vektorraumes darstellen. Bedeutung der Kollinearität In der analytischen Geometrie werden zum Beispiel Geraden behandelt.
Die vier Punkte sind also komplanar. Lösungsweg 2 (Überprüfen mittels Spatprodukt) Die Entscheidung über die Komplanarität der vier Punkte P 1, P 2, P 3 u n d P 4 kann auch mithilfe des Vektorprodukts bzw. des Spatprodukts getroffen werden. Bei Letzterem macht man sich zunutze, dass der Betrag des Spatprodukts ( a → × b →) ⋅ c → dreier Vektoren das Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelepipeds angibt. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so hat dieses Parallelepiped das Volumen 0. Daher gilt: Die vier Punkte P 1, P 2, P 3 u n d P 4 des Raumes liegen genau dann in einer Ebene, wenn ( P 1 P 2 → × P 1 P 3 →) ⋅ P 1 P 4 → = 0 ist. Das ist für die oben gegebenen Punkte erfüllt, denn es gilt: ( ( 2 2 3) × ( 1 2 2)) ⋅ ( 4 6 7) = ( − 2 − 1 2) ⋅ ( 4 6 7) = 0 Komplanarität von Vektoren Drei Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden können, heißen komplanar, das heißt: Drei Vektoren a →, b → u n d c → sind komplanar, wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt, z.