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Funktionsmittelwerte - Mittelwerte von Funktionen || StrandMathe || Oberstufe ★ Übung 2 - YouTube
Das arithmetische Mittelwerte Es gibt verschiedene Arten von Mittelwerten, das geometrische Mitel, das harmonische Mittel usw. Normalerweise versteht man unter Mittelwert das so genannte arithmetische Mittel, bei dem man n Zahlenwerte aufsummiert und die Summe anschließend durch n teilt. Das aber setzt voraus, dass n endlich ist und es stellt sich sofort die Frage, ob mann auch von unendlich vielen Werten einen Mittelwert bilden kann? Dies führt zu der historischen Fragestellung, wie man zur Fläche unter einem gegebenen Kurvenstückchen ein Flächengleiches Rechteck finden kann. Diese Frage führt zur... Integralformel für Mittelwerte Der Mittelwert m einer Funktion f(x) im Intervall [a;b] ist gegeben durch: Erläuterung Das Integral bestimmt die Fläche unter der Kurve von f(x) im Intervall [a;b]. Fasst man dies als Fläche eines Rechtecks auf, so braucht man nur noch durch die Länge (b-a) zu teilen und erhält die Höhe h des Rechtecks. Dies kann man dann als Mittelwert aller Funktionswerte f(x) im Intervall [a;b] auffassen.
Bei Existenz des Riemann-Integrals konvergiert die Summe gegen diesen Integralwert. Also ergibt sich durch den Grenzübergang der "endlichen" Mittel. Anzeige 16. 2005, 15:40 Leopold Was soll eigentlich der Mittelwert aller Funktionswerte von leisten? Schau dir das linke Bild an. Der Mittelwert (orange Linie) wird so gewählt, daß, was an blauer Fläche über ihn hinausschießt, die ungefärbte Fläche unter ihm ausgleicht. Die blaue Fläche links ist also so groß wie die gelbe Fläche rechts. Die Zahl rechts ist gerade die Länge des Intervalls: Und jetzt löst du die Gleichung nach auf. 15. 10. 2008, 13:55 Tetra4 "dumme" Frage?! Warum ist das der Mittelwert einer Funktion? Warum macht man die Aufleitung mal 1/(b-a). Ich hätte gedacht, dass man 1/n macht und n -> unendlich laufen lässt, damit man den genauen Mittelwert herausbekommt. Danke für die Hilfe. 15. 2008, 14:11 klarsoweit RE: "dumme" Frage?! Arthur Dent hat das doch im einzelnen beschrieben. Kurz zusammengefaßt: Man will zu dem Integral eine Zahl m finden, so daß das Integral identisch mit der Rechteckfläche m * (b - a) ist.
Insofern steht die Integralformel für den Mittelwert über unendlich viele Werte. Rechenbeispiel 1 Berechne den Mittelwert von f(x)=x im Intervall [0;2]. Lösung: Rechenbeispiel 2 Berechne den Mittelwert von f(x)=sin(x) im Intervall [0;2 π]. Gegenüberstellung Wir wollen nun das arithmetische Mittel, das wir im Falle endlich vieler Werte verwenden mit dem Mittelwert, den wir über die Integralformel erhalten, v2rgleichen. Die beiden Formeln lauten wie folgt. Diskreter (endlicher) Fall: Kontinuierlicher Fall: Angenommen man hat im diskreten Fall sehr viele Werte zu addieren. Wäre es nicht viel praktischer, die Integralformel zu verwenden, statt "beliebig" viele Werte aufzuaddieren? Wie groß wären dann mögliche Abweichungen gegenüber dem genauen Wert? Kann man wirklich die Integralformel verwenden? Die Antwort lautet: Ja man kann! Man muss allerdings Ungenauigkeiten in Kauf nehmen! Rechenbeispiel 3 Ein Messfühler misst jede Stunde, beginnend mit Stunde 0, die aktuelle Umgebungstemperatur in einem Kühlraum.
Ergnzend sei angemerkt, dass es auch fr die Differentialrechnung einen Mittelwertsatz gibt: der Differentialrechnung: Ist f eine im geschlossenen Intervall [ a; b] stetige und im offenen Intervall] a; b [ differenzierbare Funktion, dann gibt es (mindestens) eine Stelle c mit a < c < b, so dass gilt: Geometrische Deutung: Der Graph von f nimmt in (mindestens) einem Punkt die "mittlere Steigung" an, die durch die Sekantensteigung gegeben ist. Beispiel: Integral: Mittelwert der Funktionswerte: Stelle c, fr die gilt: Ableitung: Sekantensteigung: 8. 2 Volumen eines Rotationskrpers Gegeben sei eine auf dem Intervall [ a; b] stetige Funktion. Der Graph von f schliet mit der x -Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = a und x = b eine Flche ein. Rotiert diese Flche um die x -Achse, entsteht ein Rotationskrper. Das Volumen eines solchen Rotationskrpers lsst sich hnlich berechnen wie die Flche unter dem Graphen einer Funktion. Dazu wird das Intervall [ a; b] wieder in n gleiche Teile der Breite eingeteilt.