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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Steigungswinkel versteht. Einführungsbeispiel Wenn du schon einmal in den Bergen unterwegs warst, ist dir vielleicht das Verkehrzeichen aus der Abbildung bekannt. Das Schild weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12%ige Steigung aufweist. Doch was bedeutet das eigentlich? Eine Angabe von $12\ \%$ Steigung bedeutet, dass pro $100\ \textrm{m}$ in waagerechter Richtung die Höhe um $12\ \textrm{m}$ zunimmt. Es gilt: $$ \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{12}{100} = 12\ \% $$ Herleitung Neben der Steigungsangabe in Prozent gibt es noch die Möglichkeit die Steigung über den Steigungswinkel $\alpha$ anzugeben. Trigonometrie steigungswinkel berechnen excel. Um den Steigungswinkel zu berechnen, bedienen wir uns der Trigonometrie. Für den Steigungswinkel gilt: $$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $$ Dabei steht $\tan$ für Tangens. Beispiel 1 Für unser Einführungsbeispiel gilt demnach: $$ \tan \alpha = \frac{12}{100} $$ Den Steigungswinkel (in Grad) erhalten wir durch Auflösen der Gleichung nach $\alpha$: $$ \alpha = \arctan\left(\frac{12}{100}\right) \approx 6{, }84^\circ $$ $\arctan$ steht für Arcustangens.
Steigungswinkel berechnen – Gerade im Video zur Stelle im Video springen (00:45) Wie du den Steigungswinkel berechnen kannst und auf welche Besonderheiten du bei bestimmten Geraden achten musst, zeigen wir dir hier. Dabei unterteilen wir in Geraden mit positiver und negativer Steigung: Steigungswinkel berechnen: Gerade mit positiver Steigung Für Geraden mit positiver Steigung siehst du die Situation oben im Bild dargestellt. Hast du hier die Funktionsgleichung gegeben, kannst du den Steigungswinkel berechnen mittels Anders herum kannst du, wenn du nur den Winkel gegeben hast, daraus auch direkt die Steigung bestimmen und das Ergebnis graphisch überprüfen. Berechnung von Steigung und Gefälle. Beispiel 1 Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion durch den Punkt mit dem Steigungswinkel. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist wobei wir die Steigung mit berechnen können als Jetzt müssen wir nur noch den y-Achsenabschnitt bestimmen. Dazu setzen wir und den Punkt ein Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung.
Bei einer positiven Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der $x$-Achse mit dem Steigungswinkel überein. Für die Gerade $g(x)=-0{, }75x+2$ bekommen wir zunächst einen negativen Winkel. Der Schnittwinkel mit der $x$-Achse ist dann der entsprechende positive Winkel: $\begin{align*}\tan(\alpha')&=-0{, }75\\ \alpha'&\approx -36{, }9^{\circ}\\ \alpha &\approx 36{, }9^{\circ}\end{align*}$ Für den Schnittwinkel $\beta$ mit der $y$-Achse nutzen wir aus, dass die Gerade mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck bildet: $\beta =180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha =90^{\circ}-\alpha\\ \beta \approx 53{, }1^{\circ}$ Aufstellen einer Geraden Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch $P(\color{#f00}{1}|\color{#1a1}{1})$ mit dem Steigungswinkel $\alpha =111, 8^{\circ}$. Www.mathefragen.de - Trigonometrie steigungswinkel berechnen. Lösung: Mithilfe des Winkels bestimmen wir zunächst die Steigung: $m=\tan(111{, }8^{\circ})\approx \color{#a61}{-2{, }5}$ Diesen Wert und den Punkt setzen wir in die Normalform ein: $\begin{align*}\color{#1a1}{1}&=\color{#a61}{-2{, }5}\cdot \color{#f00}{1}+b\\1&=-2{, }5+b&&\quad |+2{, }5\\3{, }5&=b\\ g(x)&=-2{, }5x+3{, }5\end{align*}$ Die Aufgabenstellung ist eher selten, zumal man fast immer mit gerundeten Werten weiterrechnen muss.