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Es werde angenommen, die Formel sei richtig für n = k ( m i t k > 1), also z k = r k ( cos k ϕ + sin k ϕ). Multipliziert man diese Gleichung mit z, so erhält man z k + 1 = r k ( cos k ϕ + sin k ϕ) ⋅ r ( cos ϕ + sin ϕ) und nach Ausführen der Multiplikation z k + 1 = r k + 1 [ cos ( k + 1) ϕ + sin ( k + 1) ϕ]. ( w. z. b. w. ) Ohne Beweis sei gesagt, dass die Aussage für das Potenzieren für beliebige reelle Zahlen gilt. Formel von moivre rose. Insbesondere heißt das, dass sich Wurzeln aus komplexen Zahlen damit berechnen lassen.
\({z^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {{e^{i\varphi}}} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {e^{in\varphi}} = {\left| z \right|^n} \cdot \left[ {\cos \left( {n\varphi} \right) + i\sin \left( {n\varphi} \right)} \right]\) Potenzen komplexer Zahlen Um eine komplexe Zahl mit n zu potenzieren, bietet sich die Polarform an, da dabei lediglich der Betrag r zur n-ten Potenz zu nehmen ist und das Argument \(\varphi\) mit n zu multiplizieren ist. \(\eqalign{ & {z^n} = {\left( {r \cdot {e^{i\varphi}}} \right)^n} = {r^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \varphi}} \cr & {z^n} = {r^n}(\cos \left( {n\varphi} \right) + i\sin \left( {n\varphi} \right)) \cr} \) Wurzeln komplexer Zahlen Für das Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist es zweckmäßig auf eine Polarform (trigonometrische Form oder Exponentialform) umzurechnen, da dabei lediglich die Wurzel aus dem Betrag r gezogen werden muss und das Argument durch n zu dividieren ist.
Weitere Aufgaben für den GTR mit Stetigkeitskorrektur: S 407 Nr. 9 b) und Seite 410 Nr. 1 und 2.
Vor der Einführung des GTR konnten Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit der Binomialverteilung nur durch Nachschlagen in Tabellen erfolgen. Falls die gewünschte Kombination von Wiederholungen und Erfolgswahrscheinlichkeit nicht in der Tabelle vorlag, musste mit der Näherungsformel von Moivre und Laplace gearbeitet werden. Einstieg: Arbeiten mit Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung In den Tabellen sind zu gegebener Wiederholungszahl n kumulierte Wahrscheinlichkeiten P_{p;n}(0\le X \le k) zu verschiedenen Werten von p und k tabelliert. Aufgabe Bestimme folgende Wahrscheinlichkeiten mit der Tabelle, kontrolliere mit dem GTR: P_{0{, }2;10}(0 \le X \le 4), P_{0{, }2;10}(2 \le X \le 4), P_{0{, }2;10}(X = 4), P_{0{, }85;20}(12 \le X \le 16). Die Näherungsformel Berechnungen mit dem GTR Der GTR nutzt die Dichtefunktion \varphi_{\mu;\sigma}(x) zur Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit. Satz von Moivre: Beweis und gelöste Übungen - Wissenschaft - 2022. Die Standardabweichung σ und der Erwartungswert µ müssen je nach Aufgabenstellung bestimmt werden.
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