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Über die Normberechnung hinaus stellt die Erweiterung auch Funktionen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren bereit. Wir haben wieder eine zufällige \(100\times 100\) Matrix: import numpy import as linalg A = numpy. random. rand ( 100, 100) und können nun die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen. NumPy liefert dann ein Tupel aus Eigenwerten ew und Eigenvektoren ev zurück: ew, ev = linalg. Eigenwerte und Eigenvektoren, Eigenwertproblem | Mathematik - Welt der BWL. eig ( A) Nun können wir den betragsmäßig kleinsten und größten Eigenwert und den dazugehörigen Eigenvektor bestimmten. Zunächst berechnen wir die Beträge der (i. d. R. komplexen) Eigenwerte: ew_abs = numpy. abs ( ew) Mit argmax / argmin wird der Index des maximalen/minimalen Eigenwerts berechnet: ew_max = numpy. argmax ( ew_abs) ew_min = numpy. argmin ( ew_abs) womit wir dann auf den entsprechenden Eintrag zugreifen können: print "max EW ", ew [ ew_max] print " + EV ", ev [ ew_max] print "min EW ", ew [ ew_min] print " + EV ", ev [ ew_min] Download.
Anzahl der Zeilen symmetrische Matrix Beispiele betragskleinster Eigenwert (inverse Vektoriteration) betragsgrößter Eigenwert (Vektoriteration) kleinster Eigenwert (Vektoriteration mit Spektralverschiebung) größter Eigenwert (Vektoriteration mit Spektralverschiebung) Inverse Vektoriteration mit Spektralverschiebung Vektoriteration Für die Bestimmung des Eigenvektors des betragsgrößten Eigenwertes einer Matrix A kann man folgenden Algorithmus verwenden: x n = A x n-1 / | A x n-1 | Gestartet wird mit einem Vektor x 0, der Zufallszahlen enthält. Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen | virtual-maxim. Falls das Verfahren konvergiert, konvergiert x n gegen den Eigenvektor zum betragsgrößten Eigenwert. Der betragsgrößte Eigenwert ist dann bestimmbar mit dem sogenannten Rayleigh-Quotienten: λ max = x T A x / ( x T x) Man muss also immer nur die Matrix mit der letzten Näherung multiplizieren und danach den Ergebnisvektor normieren. Ist der Unterschied zwischen 2 Näherungen hinreichend klein, bricht man ab. Inverse Vektoriteration Die Eigenvektoren der Inversen A -1 einer Matrix sind die gleichen wie die der Matrix A.
8 12 – 4 – 40 – 60 20 – 100 – 150 50 x ⇀ = 0 2 3 – 1 – 2 – 3 1 – 2 – 3 1 x ⇀ = 0 Alle drei Zeilen sind linear abhängig, wir müssen also zwei Komponenten des Lösungsvektors frei wählen. Wir wählen beispielsweise x 1 =-1, x 2 =1, somit muss x 3 =1 sein. x ⇀ 1 = – 1 1 1 Es muss noch ein Eigenvektor für den zweiten doppelten Eigenwert berechnet werden. Es kann logischerweise nicht nach dem gleichen Schema berechnet werden, da sonst die beiden Eigenvektoren gleich sein würden, was aber nicht erlaubt ist. Wir brauchen einen Eigenvektor höherer Ordnung. Diesen kann man raten. Eigenwerte und eigenvektoren rechner und. Das ist manchmal ziemlich einfach, man muss nur schauen, dass die Eigenvektoren linear unabhängig sind. Zum Beispiel wäre der Vektor (1, 0, 1) eine Lösung. Ich möchte im folgenden trotzdem zeigen, wie man das Problem mathematisch angeht. Dazu verwenden man die allgemeine Form der Eigenwertgleichung. A – λ E k x ⇀ = 0 Bis jetzt hatten wir die Eigenvektoren erster Ordnung (k=1) berechnet, jetzt muss der Eigenvektor zweiter Ordnung (k=2) berechnet werden.
Das bedeutet wiederum, dass die Determinante 0 sein muss: det(A-λE)=0. Diese Determinante nennt man dann "charakteristisches Polynom". Die Nullstellen dieses Polynoms sind dann die Eigenwerte. Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. Eigenwerte und eigenvektoren rechner dem. die Eigenvektoren. Beispiel: Am Beispiel der Matrix bestimmen wir mal die Eigenwerte: Setzt sie wie oben beschrieben in die Gleichung (A-λE)=0 ein, dann erhaltet ihr: Dann Berechnet ihr die Determinante dazu: Die Nullstellen des Polynoms sind dann eure Eigenwerte. Also in diesem Fall λ 1, 2 =2 und λ 3 =-2. Jetzt gehts weiter mit den Eigenvektoren, dazu setzt ihr wie oben beschrieben die Eigenwerte für λ ein, erstmal die 2: Dann muss man das Gleichungssystem lösen und erhällt durch Umformung: Der Vektor lässt sich so leicht ablesen: Die Eigenvektoren sind dann alle Vielfachen dieses Vektors!
Um Schreibarbeit zu sparen, lassen wir dabei überflüssige Informationen weg. Übrig bleibt: $$ \begin{pmatrix} (3-{\color{blue}\lambda_i}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}\lambda_i}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}\lambda_i}) \end{pmatrix} $$ Im Folgenden berechnen wir nacheinander die Eigenvektoren zu den Eigenwerten $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\lambda_3$.
Wir können zeigen, dass mindestens eine Linie durch das Objekt entweder immer noch in die gleiche Richtung oder in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Der Vektor für diese Richtung ist ein Eigenvektor. Charakteristisches Polynom: Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen | Mathematik - Welt der BWL. Der Betrag der Streckung in diese Richtung ist der Eigenwert für diesen Eigenvektor. Wenn die Richtung der ursprünglichen Richtung entgegengesetzt ist, ist der Eigenwert negativ. Dies funktioniert, da unidirektionales Dehnen, Drehen und Reflektieren lineare Funktionen sind und der dreidimensionale Raum mindestens einen reellen Eigenwert erfordert.
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