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D. h. explizit setzt man, und in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein.
Der Fall lässt sich mit einbeziehen und liefert. Das Teilverhältnis kann jede reelle Zahl außer −1 annehmen (s. u. ). Das Wort "teilt" darf man nach der Ausdehnung auf beliebige Punkte nicht zu wörtlich nehmen, denn nur, wenn zwischen liegt, teilt die Strecke. Vektoren mittelpunkt einer strecke der. Es gilt: Man beachte, dass eine Vertauschung von das Teilverhältnis verändert (invertiert), außer im Fall, dass der Mittelpunkt der Strecke ist. Berechnung des Teilverhältnisses bzw. des Teilpunktes Vektoren zur Berechnung des Teilverhältnisses Teilverhältnis in Abhängigkeit vom Parameter t: Der Punkt der Geraden durch die Punkte lässt sich durch Aus ergibt sich die Gleichung und schließlich. Löst man die letzte Gleichung nach t auf, so erhält man Für ist der Mittelpunkt der Strecke. Bemerkung: Falls die Punkte durch ihre Parameter bezüglich einer Parameterdarstellung der zugrunde liegenden Gerade gegeben sind, ergibt sich für ihr Teilverhältnis Zeichnerisches Ermitteln des Teilpunkts Teilung von A, B im Verhältnis (T, innen) bzw. (S, außen) Um den Teilpunkt zu finden, verwendet man eine Konstruktion nach dem zweiten Strahlensatz: Soll die Strecke [AB] im Verhältnis m:n geteilt werden, so zeichnet man durch A und durch B zwei parallele Geraden.
Sind zwei Pfeile vorhanden und laufen diese Parallel zu einander, dann ist dies eine Verschiebung, die ein und den selben Effekt aufweist. Zwischen den einzelnen Pfeilen jedoch finden sich noch weitere Unterschiede. So muss hier noch unterschieden werden ob es sich um einen oder mehrere Pfeile handelt. Der einzelne Pfeil muss als gerichtete Strecke definiert werden. Zwei Pfeile hingegen werden äquivalent. Das ist aber nur der Fall, wenn diese Pfeile gleich lang sind und auch die selbe Richtung aufweisen. Bei den Vektoren kann es sich aber auch um eine Verschiebung handeln. Eine weitere Möglichkeit ist, das zwei Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen. Nie wieder Probleme mit der Vektorrechnung ✎ HIER!. Der Ortsvektor und die Richtungsvektoren Bezeichnet ein Vektor einen bestimmten Punkt in einem Raum, so handelt es sich dabei um einen Ortsvektor. Ein Richtungsvektor ist eine Gerade, die mit Hilfe eines Pfeiles eine Richtung anzeigt. Eine Unterscheidung der beiden Vektorenarten spielt in der Geometrie eine große Rolle. Vektoren können addiert und subtrahiert werden Um eine Addition durchzuführen ist es nötig, zwei Vektoren einzusetzen.
Auf der Parallelen durch A trägt man m-mal, auf der Parallelen durch B n-mal die gleiche Strecke ab. Bei innerer Teilung muss das Abtragen in verschiedener Richtung, bei äußerer Teilung in gleicher Richtung erfolgen. Man zeichnet die Gerade durch die Endpunkte der abgetragenen Strecken. Ihr Schnittpunkt mit der Geraden AB ist der gesuchte Teilpunkt (S bzw. T). Invarianz des Teilverhältnisses Eine beliebige affine Abbildung der reellen Koordinatenebene lässt sich folgendermaßen darstellen: Also wird auf abgebildet. Hieraus ergibt sich, die Invarianz des Teilverhältnisses. Eine Parallelprojektion lässt sich als affine Abbildung oder, bei geeigneter Koordinatisierung, sogar als lineare Abbildung darstellen. Also ist das Teilverhältnis auch bei Parallelprojektion invariant. Mittelpunkt einer strecke berechnen vektoren. Verallgemeinerung Da zur Definition des Teilverhältnisses nur Zahlen und Vektoren verwendet wurden, lässt sie sich wörtlich auf eine affine Koordinaten-Ebene über einem beliebigen Körper ausdehnen. ( Die reellen Zahlen werden als Koordinatenbereich einfach durch einen beliebigen Körper ersetzt. )