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Durch reelle Zahlen bestimmt - 1 mögliche Antworten
Manchmal wird der Wertebereich auch als Wertemenge bezeichnet. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Der Definitions- und Wertebereich von Funktionen Den Definitionsbereich und den Wertebereich von Funktionen bestimmst du genauso wie den von Termen. Beispiel 1: Bestimme den Definitions- und Wertebereich der Funktion $$f(x)=2x$$. Definitionsbereich: Die Variable x steht nicht im Nenner, also ist der Definitionsbereich ganz $$ℚ$$. $$D=ℚ$$ Wertebereich: Du siehst am Graphen, dass dieser alle y-Werte annimmt. Das heißt, du erhältst als Ergebnis alle Zahlen aus $$ℚ$$. Der Wertebereich ist also ganz $$ℚ$$. $$W=ℚ$$ Beachte: Der Graph geht links und rechts noch weiter. Der Definitions- und Wertebereich von Funktionen Beispiel 2: Bestimme den Definitions- und Wertebereich der Funktion $$f(x)=3x^2$$. Die Variable x steht nicht im Nenner, also ist der Definitionsbereich ganz $$ℚ$$. $$D=ℚ$$ Wertebereich: Du siehst am Graphen, dass dieser nicht alle y-Werte annehmen kann.
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Aber diese Eigenschaft charakterisiert die reellen Zahlen nicht, denn auch die rationalen Zahlen bilden einen Körper. Die Menge der reellen Zahlen ist linear geordnet, d. h., es kann bei zwei Zahlen eindeutig bestimmt werden, welche die größere und welche die kleinere ist. Diese Eigenschaft wird formal wie folgt beschrieben: Die reellen Zahlen sind linear geordnet [ Bearbeiten] Auf existiert eine Ordnung " ≤ ". ist eine linear geordnete Menge mit folgenden Eigenschaften: Seien mit. Dann gilt für alle: und für alle mit:. Die obigen Eigenschaften der linearen Ordnung stellen die Verträglichkeit der Ordnung mit den algebraischen Eigenschaften des Körpers her. Dies wird im Kapitel über Ungleichungen ausführlicher dargestellt. Die beiden Eigenschaften, Körper und lineare Ordnung, charakterisieren die Menge der reellen Zahlen noch immer nicht, da sie beispielsweise auch durch die rationalen Zahlen erfüllt werden. Für die folgende Eigenschaft trifft dies nicht mehr zu: Die reellen Zahlen sind vollständig [ Bearbeiten] Die Vollständigkeit von lässt sich anschaulich durch folgende Eigenschaft beschreiben: Seien zwei nichtleere Teilmengen von, und es sei für alle und.
⇐: In diesem Teil wird die Gültigkeit der rechten Seite des obigen Satzes vorausgesetzt: Seien zwei nichtleere Mengen reeller Zahlen, und es gelte für alle und alle. Zu beweisen ist, dass es ein gibt mit für alle und alle. Nach Voraussetzung ist nichtleer, und jedes ist eine obere Schranke von, da für alle und. Ein solches existiert, da nach Voraussetzung nichtleer ist. Also besitzt ein Supremum, und es gilt für alle. Da die kleinste obere Schranke in war, gilt für alle, also insgesamt für alle und alle. Genau das war zu zeigen. Die Eigenschaft der Vollständigkeit erscheint auf den ersten Blick wenig spektakulär. Hierzu ein Gegenbeispiel: Beispiel [ Bearbeiten] Sei {, und} und {, und}. Diese beiden Mengen grenzen offenbar ein. Offenbar gilt auch für alle und (diese Vermutung ist für einen Beweis der Existenz von nicht ausreichend und wäre ggf. zu beweisen). Aus der Eigenschaft der Vollständigkeit würde sofort die Existenz von folgen. In der Einleitung zu den reellen Zahlen wurde aber gezeigt.
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